Trasformate di Laplace

Osservazione 7.5 (Laplace e Fourier) Se u `e un segnale causale e assolutamente in-tegrabile, allora il dominio della sua trasformata di Laplace contiene il semipiano {Res ≥ 0} ed in particolare l’asse immaginario. Lungo quest’ultimo, la trasformata di Laplace coincide con la trasformata di Fourier di u mediante la relazione U(2πif Prof. Thomas Parisini Fondamenti di Automatica FA-es Parte 1L 1 Trasformate di Laplace Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti)

Controlli Automatici Introduzione -- 5 Antitrasformate di Laplace • Siano p 1, … , p n le sue radici, per cui il polinomio (s) si può scrivere nella forma fattorizzata In particolare, se z 1, … ,z m e p 1, …,p n sono rispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a numeratore e a denominatore di F(s)) si ha la forma AntiTrasformata di Laplace Poichè le trasformate sono univoche, per antitrasformare è sufficiente applicare le leggi di trasformazione al contrario. Se le funzioni sono particlarmente complesse, si puo applicare la formula generale, che però è molto complessa, oppure ricorrere a metodi particolari, come nel caso delle funzioni razionali fratte.

Trasformata di Laplace dei segnali di prova Senza entrare nel merito delle dimostrazioni, per le quali si rimanda a testi specializza- ti, nella tabella 3.1 sono riportate le trasformate dei segnali più frequentemente utiliz- Esercizio sulle Antitrasformate di Laplace Si calcoli l’antitrasformata di Laplace di Y(s) = s+2 (s 1)(s2 +1). Dalla teoria delle funzioni razionali, risulta che Y(s) puo` essere scomposta nella forma Y(s) = A s 1 + Bs+C s2 +1 Per determinare i coefficienti A, B e C, riducendo le frazioni a minimo comune denominatore, si ottiene Y(s) = A(s2

Si pone allora ascissa di convergenza della funzione f σ(f) = min{Re(s) : esisteL(f )(s)}. Osservazione 1.2. La trasformata di Laplace e' lineare. Questo significa ...

2 La trasformata di Laplace, come il metodo simbolico, è una trasformazione delle variabili del problema che consente di cambiare operazioni complesse in altre più semplici. In particolare nella soluzione delle reti con la trasformata di Laplace, le variabili sono convertite …